等差数列中的中位数怎么理解

1²+2²+3²+4²……n²=？。除了通项公式n（n+1）（2n+1）/6以外，还有其它方法可以算出平方和。

在平方求和中有一个特殊性质是和2，3有关，而平方求和就是自然数平方的叠加式。自然数又分为偶数和奇数。所有的自然数÷3就会形成六种不同结构。

我们用6个相连数字看一看，偶数如40.42.44。奇数41.43.45。它们除3有三种结果，整除数，整除余1数，整除余2数。但偶数与奇数不同，能除2，就又形成三种结果。

先看一下40，40÷3余1，那么40x2+1=81，81÷3=27，是40的平方和的第一个因数就是27，第二因数就是40+1=41，第三个因数就是40÷2=20.

那么40的平方和就是：41x27x20=22140。运算公式就是：（n+1）〔（2n+1）÷3〕（n÷2）。

再看42，42÷3÷2=7，42是能被3整除也能2整除。那么7就是第一个因数。第二个因数是42x2+1=85。第三个因数就是42+1=43。那么42的平方和就是：7x85x43=25585。运算公式就是：（n÷3÷2）（2n+1）（n+1）。

再看44，44不能被3整除，44x2+1也不能被3整除。（44+1）÷3=15，那么15就是第一个因数。那么第二个因数就是44x2+1=89，第三个因数就是44÷2=22。那么44的平方和就是：15x89x22=29370。运算公式就是：〔（n+1）÷3〕（2n+1）（n÷2）。

让我再看一看奇数：41，41不能被了整除，41x2+1也不能被3整除，（41+1）÷3÷2=7，那么7是第一个因数，第二个因数就是41x2+1=83，第三个因数就是41。那么41的平方和就是：41x7x83=23821。运算公式就是：n〔（n+1）÷3÷2〕（2n+1）。

再看43，43不能被3整除，43x2+1=87，87÷3=29，那么第一个因数就是29。第二个因数是43。第三个因数是（43+1）÷2=22。那么43的平方和就是：43x29x22=27434。运算公式就是：n〔（2n+1）÷3〕〔（n+1）÷2〕。

再看45，45÷3=15，是能被3整除的，那么15就是第一个因数。第二个因数就是45x2+1=91。第三个因数就是（45+1）÷2=23。那么45的平方和就是：15x91x23=31395。运算公式就是：（n÷3）（2n+1）〔（n+1）÷2〕。

从以上结构可以看出：像三角形中三条线，n是平衡点，x2是放大性，÷2是收缩性，+-1是奇偶数的性质造成的。

而这些性质和角谷的冰雹猜想有着密切的关系，它的性质可能是证明冰雹猜想的金钥匙。