根号下x2+1的不定积分是多少

根号下x2+1的不定积分是(1/2)[x√(x+1)+ln|x+√(x+1)|]+C。

∫√(x²+1) dx

=x√(x²+1)-∫xd[√(x²+1)]

=x√(x²+1)-∫[x²/√(x²+1)]dx

=x√(x²+1)-∫[(x²+1)/√(x²+1)]dx+∫[1/√(x²+1)]dx

=x√(x²+1)-I+∫[1/√(x²+1)]dx

=(1/2){x√(x²+1)+∫[1/√(x²+1)]dx}

设x=tant,则√(x²+1)=sect,dx=sec²tdt

∫[1/√(x²+1)]dx

=∫sec²t/sect dt

=∫sect dt

=ln|tant+sect|+C

=ln|x+√(x²+1)|+C

=(1/2){x√(x²+1)+∫[1/√(x²+1)]dx}

=(1/2)[x√(x²+1)+ln|x+√(x²+1)|]+C

所以根号下x2+1的不定积分是(1/2)[x√(x+1)+ln|x+√(x+1)|]+C。

分部积分法

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vduxa0[1]xa0

两边积分，得分部积分公式

∫udv=uv-∫vdu。xa0⑴

称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

一般来说，u,vxa0选取的原则是：xa0

1、积分容易者选为v，

xa02、求导简单者选为u。

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。