系数矩阵中怎么看出该矩阵的满秩是多少

写一些系统的总结来帮助记忆和理解。

矩阵 的秩rank（下文用r表示）可以理解为矩阵中线性无关向量的个数。如果是长方形矩阵，区分行秩和列秩，行秩就是线性无关行的个数，列秩就是线性无关列的个数，但三者始终相等，故不作区分（可以推导，此略）。 。r=主元个数=列空间维数=列空间基向量个数=行空间维数=行空间基向量维数。举个例子，假设一个5x3维的矩阵 A，如果r=3，那么表明这个矩阵的列向量都是线性无关的，如果我们输入一个5x1的向量x，得到Ax=b，从几何上来说就是把一个5维的向量投影到3维的列空间（子空间）中，b必须是A中列向量的线性组合。同理，如果r=2，那么b只能是2维列空间中的向量。假设是3x5维的矩阵B，r必须小于等于3，因为我们无法通过一个向量在低维空间中的信息确定它在更高维空间中的信息。所以，对于一个非满秩的矩阵来说，可以理解为对信息的压缩，在这个过程中我们损失了信息，这也是非满秩的方阵不可逆的原因。理解了这个，再来看方程Ax=b解的个数问题就非常清晰了。首先解的个数应该由两部分决定，Ax=0的通解个数和Ax=b的特解个数。先看Ax=0。对于方阵：若满秩，A可逆，则x只包含0向量，唯一解。若非满秩，A不可逆，x中还包含其他非0向量，无穷多解。对于 ：若非满秩，x一定包含非0向量，无穷多解。若r=n<m（列满秩），x只包含0向量，唯一解。若r=m<n（行满秩），x一定包含非0向量，无穷多解。再看Ax=b。【令自由变量等于0】对于方阵：若满秩，A可逆，一定可解。有 。唯一解。若非满秩，A不可逆。若b在A的列空间内则可解，具体用增广矩阵判断。若可解则有无穷多解。零解或无穷多解。对于 ：若非满秩，若b在A的列空间内则可解。若可解则有无穷多解。零解或无穷多解。若r=n<m，若b在A的列空间内则可解。若有解则为唯一解。零解或一解。若r=m<n，特解一定存在，故有无穷多解。秩与奇异值。 矩阵的秩=非0奇异值的个数>=非0特征值的个数。这里可以用SVD理解，其中 是以奇异值为对角线元素的对角阵。对于这个对角阵，从几何的角度来说只涉及对应向量在长度上的伸缩变换，如果奇异值为0，那么表示的基向量退化成了一个点（可以理解为投影）。

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