勾股定理的常见三种证明方法

据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。

1．赵爽“弦图”验证法三国时期的数学家赵爽，利用图1验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”．在边长为c的正方形中有四个斜边为c的全等直角三角形，已知它们的直角边长分别为a，b．你能利用这个图形验证勾股定理吗？验证：大正方形可以看成边长为c的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为(a－b)．S大正方形=21ab×4＋(a－b)2，同时也有S大正方形=c2，所以21ab×4＋(a－b)2＝c2．整理得a2＋b2＝c2．

2．火柴盒推倒验证法一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图2，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到DCBA的位置，连接CC，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形DCBC的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.验证：因为四边形DCBC为直角梯形，所以S梯形BCC′D′=21(BC+2)()2baDBDC.因为Rt△ABC≌Rt△AB′C′，所以∠BAC=∠B′AC′.所以∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.所以S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=21ab+21c2+21ab=222abc.

所以222)(22abcba，所以a2+b2=c2.

3．面积割补验证法如图3，可以用面积割补法来验证勾股定理．因为S正方形CDEF＝S正方形MNOP，而S正方形CDEF＝2142cab，S正方形MNOP＝22142abab，所以222=abc．