矩阵等价是什么意思

　　在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP(P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵)，那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

　　性质

　　1、矩阵A和A等价(反身性);

　　2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性);

　　3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性);

　　4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)；

　　5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解；

　　6、对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

　　(1)矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

　　(2)当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

　　证明

　　a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关，同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。

　　若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。

　　当A和B为同型矩阵，且r(A)=r(B)时，A，B一定等价。