实对称矩阵的性质

实对称矩阵的性质：实对称矩阵的特征值均为实数、特征向量可以取为实向量。实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵可正交相似对角化。n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若A具有k重特征值λ0必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji，其中i、j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。对称矩阵只说明A^T=A没说明矩阵中的元素是实数，矩阵中的元素不仅可以是实数，也可以是虚数，甚至元素本身就是一个矩阵或其它更一般的数学对象。实对称矩阵就说明了矩阵中的元素要是实数。

代数图论研究用到的无号拉普拉斯矩阵就是实对称矩阵。实对称矩阵一定能对角化这个问题不是那么明显就能得到答案的。A是否可以对角化，存在一个可逆矩阵P使得P^(-1)AP成为对角矩阵。

一个自然的推论，如果A有n个不同的特征值，那么A一定可以对角化。然而实对称矩阵却不一定拥有n个不同的特征值。证明需要用到不变子空间。