连续和一致连续的区别

连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而一致连续函数在整个定义域内任意两点间的距离可以被控制，使得函数值的变化不超过一个固定的阈值。连续性关注局部性质，一致连续性关注全局性质。

连续与一致连续的对比及其函数性质

在数学中，连续性和一致连续性是两个重要的概念，它们在函数的性质上有着明显的区别。连续性关注的是函数在单点的行为，而一致连续性则涉及函数在整个定义域上的行为。具体来说，一致连续性要求函数在定义域的任意子集上都保持连续性，这是连续性所不具备的。因此，一致连续的函数必然是连续的，但连续的函数不一定具有一致连续性。

连续函数的性质

有界性：连续函数的一个重要性质是有界性。这意味着存在一个正数M，使得对于定义域内的所有x，函数值的绝对值都不超过M。这个性质可以通过致密性定理来证明，即有界的数列必定存在收敛的子数列。

最值性：连续函数在闭区间上具有最值性，即在区间[a,b]上，函数f(x)存在一个点x0，使得对于区间内的所有x，都有f(x)≤f(x0)。这里的f(x0)被称为函数在该区间上的最大值。同样地，最小值也可以通过类似的定义获得。

介值性：介值性，也称为介值定理，描述了连续函数在闭区间上的另一个重要性质。这个性质包含两种特殊情况：零点定理和闭区间上的最大值与最小值之间的所有数值。零点定理指出，如果函数f(x)在区间两端点的函数值异号，那么在该区间内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。而闭区间上的连续函数则必定取得该区间内最大值和最小值之间的所有数值。

这些性质不仅定义了连续函数的行为，也为数学分析提供了重要的理论基础。通过理解这些性质，我们可以更好地分析和应用连续函数。