量子力学算符方面中的这个等式是怎么证明的呢

本题要证明的是两个对易式的恒等变形。

首先要理解对易式[A,B]=C，实际上表达的是对任意波函数ψ而言，ABψ-BAψ=Cψ的意思。我们必须在等式两边补上这个任意波函数ψ才好往下证明。

其次我们要对这两个等式的证明选择合适的表象。对第一个式子，我们要选择动量表象，在动量表象下，位置算符x要表示为对动量的求导。而对第二个式子，我们则要选择位置表象，在位置表象下，动量算符p要表示为对位置的求导。

在待证明的等式中还出现了F(p)和G(x)，前者可以看做是动量p的任意函数，后者是位置x的任意函数。因为我们已经分别选取了动量表象和位置表象，所以它们在计算中就当作普通函数处理就可以了。

一般而言，我们对位置表象较熟悉，所以先来证明第二个式子。

在位置表象下，位置算符是x，动量算符可表示为对位置的求导：

这里脚标i表示位置的第i个分量，由于我们的物理世界是三维的，所以i可以取1，2，3（对应x、y、z）。

在量子力学中，算符相等：A=B，意味着A作用于任意波函数ψ等于B作用于任意波函数ψ，即：Aψ=Bψ。

算符的对易式[A,B]定义为AB-BA，我们实际上要计算的是：[A,B]ψ=ABψ-BAψ。

上式中第一项对应的是微分运算：d(uv)=udv+vdu，因此，

最后两项互相抵消，我们把上式改写为算符的等式A=B的形式：

类似地，我们也可以证明另一个等式：

首先这里出现的xi表示的是动量表象下的位置算符。它可以表示为：

现在对任意波函数φ(p)，计算[xi,F(p)]φ，

最后两项抵消，剩下：

改写为算符的等式形式：

Q.E.D.

作为补充，我们来证明一下动量表象下位置算符的表达式。

考虑矩阵元：《p'|x|α》，这里x是位置算符，我们在合适的位置插入单位算符：

1=∫dx' |x'> <x'|

在上式最后一项中我们已经得到了动量表象下位置算符x的表达形式。

参考书：樱井纯，《现代量子力学》，第一章